Αντιστάθμιση της μεταβλητότητας των αξιογράφων, μέρος 1ο

Καλησπέρα!

Η ιδέα να μοιράζουν κομμάτια από την έρευνά τους συνάδελφοι από την σχολή βρίσκει και πιο πολλούς υποστηρικτές. Σήμερα φιλοξενώ το πρώτο κομμάτι της επισκόπησης βιβλιογραφίας από την διπλωματική εργασία του φίλου και αδερφού Δημήτρη Βλάχου. Ο Δημήτρης είναι τυχερός και το Πανεπιστήμιο Πατρών έχει ανεβάσει την εργασία του στο ψηφιακό καταθετήριό του. Οπότε όλη την εργασία του μπορείτε να την βρείτε εδώ. Το τηλέφωνό του οι κοπέλες θα πρέπει να μου στείλουν ένα mail για να του το προωθήσω το αίτημα. Καλή ανάγνωση. Το τραγούδι στο τέλος είναι και αυτό επιλογή του Δημήτρη.

Κεφάλαιο 2

Βιβλιογραφική Επισκόπηση

Η ορθή αποτίμηση των παράγωγων χρηματιστηριακών προϊόντων αποτελεί εδώ και χρόνια ένα ενδιαφέρον αντικείμενο τόσο σε αγοραίο, όσο και σε ακαδημαϊκό επίπεδο. Τα παράγωγα χρηματιστηριακά προϊόντα αποτελούν εργαλεία αντιστάθμισης του κινδύνου και η ορθή αποτίμηση και χρήση αυτών από τους επενδυτές έχει πολλαπλά οφέλη. Το Μάρτιο του 1900 γεννήθηκε η μαθηματική χρηματοοικονομική από τον Louis Bachelier, με το έργο του «Θεωρία της Κερδοσκοπίας». Μία από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις στην ιστορία της μαθηματικής επιστήμης, η κίνηση Brown, χρησιμοποιήθηκε από τον Bachelier για τη μοντελοποίηση της κίνησης της τιμής των μετοχών και την αποτίμηση των αυτής εξαρτώμενων προϊόντων (Δικαιώματα προαίρεσης). Η κίνηση Brown χρησιμοποιείται στη φυσική για να περιγράψει την τυχαία κίνηση στερεών σωματιδίων που βρίσκονται σε ένα υγρό ή αέριο. Η τυπική κίνηση Brown (Standard Brownian Motion) αποτελεί μια ειδική περίπτωση Markov στοχαστικής διαδικασίας και ονομάζεται αλλιώς και Wiener διαδικασία. Ο Bachelier στο έργο του αποδέχεται πως η αγορά αποτιμά τα αξιόγραφα χρησιμοποιώντας ένα μέτρο Martingale, δηλαδή ότι η τιμή μιας μετοχής ακολουθεί μια διαδικασία που ονομάζεται τυχαίος περίπατος (Random Walk). Στη χρηματοοικονομική θεωρία, η ιδιότητα Markov των τιμών των μετοχών σχετίζεται με την ασθενή μορφή αποτελεσματικότητας της αγοράς (Fama, 1970). Σύμφωνα με αυτήν, όλη η παρελθούσα πληροφόρηση για μια μετοχή ενσωματώνεται στην τρέχουσα τιμή της. Συγκεκριμένα, αυτό επιβεβαιώνεται από τον ορθολογικό τρόπο λειτουργίας της αγοράς. Όλοι οι επενδυτές είτε είναι κερδοσκόποι είτε αντισταθμιστές παρακολουθούν στενά την αγορά. Ο ανταγωνισμός μεταξύ τους συμβάλλει στην επιβεβαίωση της υπόθεσης, πως σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή η τρέχουσα τιμή μιας μετοχής ενέχει όλη την παρελθούσα πληροφόρηση. Άρα, σε περίπτωση εμφάνισης εξισορροπητικών ευκαιριών (arbitrage opportunities) στην αγορά αυτές εξαφανίζονται σχετικά γρήγορα. Οι εξισορροπητικές ευκαιρίες εμφανίζονται όταν οι τιμές αποκλίνουν για μικρά χρονικά διαστήματα, με αποτέλεσμα να δίνεται η ευκαιρία πραγματοποίησης βραχυχρόνιων κερδών. Στην ύπαρξη μιας εξισορροπητικής ευκαιρίας υπάρχουν πολλοί επενδυτές που είναι διατεθειμένοι να λάβουν θέση στην αγορά, θα αντιδράσουν γρήγορα και οι εξισορροπητικές ευκαιρίες θα πάψουν να υφίστανται. Σημαντική υπήρξε η συνεισφορά των Fischer Black και Myron Scholes (1973) στην αποτίμηση των παράγωγων χρηματιστηριακών προϊόντων. Οι συγγραφείς ανέπτυξαν στο άρθρο τους ένα μοντέλο αποτίμησης για δικαιώματα προαίρεσης με υποκείμενο τίτλο μια μετοχή, γνωστό και ως BlackScholes Model ή BlackScholesMerton Model (BSM). Τα δικαιώματα προαίρεσης χωρίζονται σε δικαιώματα αγοράς (Call Option) και δικαιώματα πώλησης (Put Option). Το δικαίωμα προαίρεσης αποτελεί ένα αξιόγραφο που δίνει στον κατέχοντα το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσει ή να πωλήσει τον υποκείμενο τίτλο σε μια συγκεκριμένη μελλοντική χρονική στιγμή και σε συγκεκριμένη τιμή. Επιπλέον, τα δικαιώματα προαίρεσης χωρίζονται σε Αμερικανικού και Ευρωπαϊκού τύπου. Στα Αμερικανικά ο κατέχων το δικαίωμα μπορεί να το εξασκήσει οποιαδήποτε στιγμή μέχρι την λήξη του, ενώ ο κατέχων το Ευρωπαϊκό μπορεί να το εξασκήσει μόνον στην λήξη. Στην περίπτωση που δεν υπάρχουν εξισορροπητικές ευκαιρίες, είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε «στιγμιαία» ένα χαρτοφυλάκιο (παίρνοντας θέση στη μετοχή και στο δικαίωμα προαίρεσης αυτής), ώστε η απόδοση του να ισούται με το ακίνδυνο επιτόκιο (riskfree interest rate). Η εξήγηση για την δυνατότητα δημιουργίας αυτού του «ακίνδυνου» χαρτοφυλακίου είναι πως τόσο η τιμή της μετοχής όσο και η τιμή του δικαιώματος επηρεάζονται από την ίδια πηγή αβεβαιότητας. Σε κάθε μικρή χρονική περίοδο η τιμή του δικαιώματος και της μετοχής είναι πλήρως συσχετισμένες. Άρα, στο τέλος κάθε μικρής χρονικής περιόδου η αξία του χαρτοφυλακίου θα είναι γνωστή και η απόδοση του θα είναι το ακίνδυνο επιτόκιο, ώστε να μην υπάρχουν εξισορροπητικές ευκαιρίες. Αυτή η σημαντική επισήμανση αποδίδεται στον Robert C.Merton και για το λόγο αυτό το υπόδειγμα αναφέρεται ως Black-Scholes-Merton. Άρα, εάν ένα δικαίωμα προαίρεσης αποτιμάται σωστά στην αγορά, τότε θα πρέπει να είναι αδύνατον να έχει κάποιος σίγουρα κέρδη δημιουργώντας ένα χαρτοφυλάκιο με θέση στη μετοχή και στο δικαίωμα προαίρεσης αυτής. Για το μοντέλο αποτίμησης οι συγγραφείς στηρίχτηκαν στις εξής αυστηρές υποθέσεις για την αγορά της μετοχής και του αντίστοιχου δικαιώματος προαίρεσης:

1) Το βραχυχρόνιο επιτόκιο δανεισμού είναι γνωστό και σταθερό ως προς το χρόνο

2) Η τιμή της μετοχής ακολουθεί ένα τυχαίο περίπατο (Random Walk), συνεχή ως προς τον χρόνο, με ρυθμό διακύμανσης ανάλογο του τετραγώνου της τιμής. Έτσι, η κατανομή των πιθανών τιμών στο τέλος κάθε πεπερασμένου διαστήματος είναι η λογαριθμική κανονική κατανομή. Ο ρυθμός διακύμανσης της απόδοσης της μετοχής είναι σταθερός.

3) Η μετοχή δεν πληρώνει μερίσματα ή άλλου είδους εισοδήματα

4) Το δικαίωμα προαίρεσης είναι Ευρωπαϊκό, ήτοι μπορεί να εξασκηθεί μόνον στην λήξη.

5) Δεν υπάρχουν κόστη συναλλαγής στην αγορά και την πώληση της μετοχής ή του δικαιώματος προαίρεσης αυτής.

6) Είναι δυνατόν να δανειζόμαστε οποιοδήποτε μέρος της τιμής ενός αξιόγραφου, με σκοπό την αγορά ή την πώλησή του στο βραχυχρόνιο επιτόκιο δανεισμού.

7) Δεν υπάρχουν κυρώσεις για το Short Selling. Ένας πωλητής που δεν κατέχει ένα αξιόγραφο, απλά θα δεχθεί την τιμή του αξιόγραφου από έναν αγοραστή και θα συμφωνήσει για διακανονισμό σε μελλοντική ημερομηνία πληρώνοντάς του ένα ποσό ίσο με την τιμή του αξιόγραφου την ημερομηνία εκείνη

Κατέληξαν, λοιπόν, πως η τιμή του δικαιώματος προαίρεσης θα εξαρτάται μόνον από την τιμή του υποκείμενου τίτλου και το χρόνο, καθώς και από μεταβλητές που θα εισέρχονται στη φόρμουλα ως γνωστές σταθερές, όπως η μεταβλητότητα και το ακίνδυνο επιτόκιο. Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα Ευρωπαϊκού τύπου δικαίωμα αγοράς (European Call Option) μετοχής.

Συνοπτικά αναφέρουμε ότι:

Η τιμή της μετοχής ακολουθεί τη Γεωμετρική Brown Κίνηση

(1)

όπου η μεταβλητή μ  εκφράζει τον αναμενόμενο ρυθμό απόδοσης, η μεταβλητή σ  εκφράζει τη μεταβλητότητα της τιμής της μετοχής και το dz  αποτελεί μια Wiener στοχαστική διαδικασία. Το μοντέλο αυτό είναι μια οριακή περίπτωση ενός υποδείγματος τυχαίου περιπάτου. Οι Black και Scholes για την εξαγωγή της διαφορικής τους εξίσωσης στηρίχθηκαν στο στοχαστικό λογισμό του Itô. Σύμφωνα, λοιπόν, με το λήμμα του Itô, έστω μια μεταβλητή χ  που ακολουθεί μια διαδικασία Itô, δηλαδή:

(2)

όπου dz  είναι μια Wiener στοχαστική διαδικασία και τα α και b  είναι συναρτήσεις των χ  και t . Το λήμμα του Itô μας λέει πως μια συνάρτηση G  των χ  και t  ακολουθεί μια διαδικασία,

(3)

η οποία αποτελεί και αυτή μια Itô διαδικασία, με dz  να είναι η ίδια Wiener στοχαστική διαδικασία με αυτή στη συνάρτηση (2).

Έχοντας κάνει υπόθεση για τη σχέση που περιγράφει την κίνηση της S  στην εξίσωση (1), εύκολα αποδεικνύεται, πώς αν η μεταβλητή f  αποτελεί την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς που εξαρτάται από το S , τότε η f  θα πρέπει να είναι μια συνάρτηση του S  και του t . Από το λήμμα του Ito έχουμε ότι :

(4)

Παρατηρούμε πως στις εξισώσεις (1) και (4) τα dz  είναι τα ίδια, δηλαδή η μετοχή και το δικαίωμα προαίρεσης υπόκεινται στην ίδια μορφή αβεβαιότητας. Άρα, κατασκευάζοντας στιγμιαία ένα χαρτοφυλάκιο με θέση στην μετοχή και στο δικαίωμα προαίρεσης της, μπορούμε να εξαλείψουμε το dz . Το αποτέλεσμα από τη δημιουργία αυτού του χαρτοφυλακίου μας δίνει τη διαφορική εξίσωση των BSM:

(5)

Η λύση της διαφορικής, στις οριακές συνθήκες (boundary conditions), μας δίνει κάθε φορά την τιμή του συγκεκριμένου παραγώγου. Για ένα δικαίωμα αγοράς (Call Option) οριακή συνθήκη αποτελεί η σχέση

(6)

Συγκεκριμένα, η φόρμουλα αποτίμησης για ένα Ευρωπαϊκού τύπου δικαίωμα αγοράς (European Call Option), όπως αυτή προκύπτει από τη λύση της διαφορικής στις οριακές συνθήκες, είναι:

Παρατηρούμε πως στη φόρμουλα αποτίμησης η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής μ  έχει εξαλειφθεί. Αυτό είναι ένα σημαντικό στοιχείο για την αποτίμηση των παραγώγων, μιας και οι προτιμήσεις των επενδυτών (που εκφράζονται από την αναμενόμενη απόδοση) δεν επηρεάζουν την αποτίμηση. Έτσι, καθίσταται δυνατή η χρήση οποιουδήποτε συνδυασμού προτιμήσεων ως προς τον κίνδυνο για την αποτίμηση ενός παράγωγου, με αποτέλεσμα να μην επηρεάζεται η λύση της διαφορικής των BSM. Με άλλα λόγια, ο κίνδυνος έχει ήδη ενσωματωθεί στην τιμή της μετοχής. Στη βιβλιογραφία, ο όρος αυτός αναφέρεται ως ουδέτερη, ως προς τον κίνδυνο, αποτίμηση (Risk Neutral Valuation). Βέβαια, το φαινόμενο αυτό είναι «τεχνητό» και έχει προκύψει από την υπόθεση πως οι επενδυτές είναι ουδέτεροι ως προς τον κίνδυνο, δηλαδή η αναμενόμενη απόδοση για μια επένδυση ισούται με το ακίνδυνο επιτόκιο. Αξιοσημείωτο όμως είναι, ότι τα αποτελέσματα της λύσης της διαφορικής είναι ορθά τόσο στην υπόθεση της ουδετερότητας όσο και στην υπόθεση της αποστροφής κινδύνου, δηλαδή τον πραγματικό κόσμο. Ο Robert C. Merton (1973c) γενίκευσε το υπόδειγμα των Black and Scholes και έδειξε, αναπτύσσοντας μια εναλλακτική φόρμουλα, πως μπορεί να είναι έγκυρο και κάτω από λιγότερο αυστηρές υποθέσεις από αυτές που οι δύο συγγραφείς πρότειναν, δηλαδή όταν τα επιτόκια είναι στοχαστικά, με την προϋπόθεση ότι η μεταβλητότητα της μετοχής αποτελεί προσδιοριστική συνάρτηση ως προς τον χρόνο. Σκοπός του άρθρου, σε πρώτο στάδιο, ήταν να δομήσει μια σειρά περιορισμών για την αποτίμηση των δικαιωμάτων προαίρεσης σύμφωνα με την υπόθεση της αποστροφής κινδύνου (Risk Aversion). Αυτοί, λοιπόν, οι περιορισμοί να γίνουν αναγκαίες συνθήκες, ώστε να είναι μια φόρμουλα αποτίμησης συνεπής με την ορθολογική θεωρία αποτίμησης των δικαιωμάτων προαίρεσης. Σε δεύτερο στάδιο, επέκτεινε το υπόδειγμα εισάγοντας πληρωμές μερισμάτων για τη μετοχή και μεταβολές στην τιμή εξάσκησης του δικαιώματος. Στα συμπεράσματά του καταλήγει πως το μοντέλο των BSM μπορεί να χρησιμοποιηθεί, ώστε να αποτιμήσει ορθά τα στοιχεία της κεφαλαιακής διάρθρωσης μιας επιχείρησης. Κάτω από τις υποθέσεις των ModiglianiMiller (1958, 1963) για την κεφαλαιακή διάρθρωση, μπορεί κανείς να θωρήσει την συνολική αξία μιας επιχείρησης ως βασικό αξιόγραφο και μεμονωμένα στοιχεία αυτής ως δικαιώματα προαίρεσης, ώστε να τα αποτιμήσει αντίστοιχα. Έτσι, θα έχει μια συστηματική εικόνα για τη δομή του κινδύνου που υπόκειται η επιχείρηση. Οι John C.Cox, Stephen A.Ross και Mark Rubinstein (1979) μελέτησαν την αποτίμηση των δικαιωμάτων προαίρεσης προτείνοντας ένα εναλλακτικό μοντέλο. Λόγω της μαθηματικής δυσκολίας που ενέχει το μοντέλο των BSM, οι συγγραφείς παρουσιάζουν μια απλή, διακριτή ως προς το χρόνο μέθοδο αποτίμησης, το διωνυμικό υπόδειγμα αποτίμησης των δικαιωμάτων προαίρεσης (Binomial Option Pricing Formula). Έδειξαν ότι μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ακίνδυνο χαρτοφυλάκιο, που να αποτελείται από ένα συγκεκριμένο ποσό της μετοχής και το δικαίωμα προαίρεσης αυτής. Υποθέτοντας απουσία εξισορροπητικών ευκαιριών το χαρτοφυλάκιο θα πρέπει να αποδίδει το ακίνδυνο επιτόκιο (riskfree interest rate). Έτσι, μπορούμε να αποτιμήσουμε το δικαίωμα προαίρεσης σε όρους της μετοχής. Συγκεκριμένα, έδειξαν ότι μπορούμε να σχηματίσουμε ένα συνδυαστικό διωνυμικό δέντρο (Binomial Tree) που να κάνει διακριτή τη γεωμετρική κίνηση του Brown. Το διωνυμικό δέντρο αποτελεί ένα διάγραμμα που αναπαριστά τα διαφορετικά μονοπάτια που μπορεί να ακολουθήσει η μετοχή κατά τη διάρκεια της ζωής ενός δικαιώματος προαίρεσης. Το εν λόγω υπόδειγμα είναι ασυνεχές σε σχέση με το υπόδειγμα των BSM, το οποίο είναι συνεχές. Βέβαια, στο όριο, το διωνυμικό δέντρο με μεγάλο αριθμό βημάτων, είναι αντίστοιχο με το συνεχές υπόδειγμα των BSM. Επιπλέον, το υπόδειγμα αυτό δίνει τιμές κατά προσέγγιση σε αντίθεση με την αναλυτική λύση του υποδείγματος των BSM. Ακόμη, αποδεικνύουν πως η τιμή ενός δικαιώματος αγοράς μπορεί να θεωρηθεί ως η προεξοφλημένη αξία των μελλοντικών πληρωμών (payoff) που το δικαίωμα θα αποφέρει, σε ένα κόσμο όπου οι επενδυτές είναι ουδέτεροι ως προς τον κίνδυνο (Risk Neutral World). Το υπόδειγμα, λοιπόν, υποθέτει πως η τιμή του υποκείμενου τίτλου (μετοχή) κινείται προς τα πάνω ή κάτω, δηλαδή ακολουθεί ένα τυχαίο περίπατο. Μπορεί να αυξηθεί κατά ένα σταθερό ποσό u , με πιθανότητα p , ή να μειωθεί κατά μια σταθερή ποσότητα d , με πιθανότητα 1-p . Συνοπτικά η τιμή για ένα δικαίωμα αγοράς με τη χρήση του διωνυμικού δέντρου δίνεται από τον τύπο:

Ο Δημήτρης επέλεξε James – Getting Away With. Εγώ που τον ξέρω ήμουν σίγουρος για την επιλογή.

Advertisements

About chriszah

Ένας επαναστάτης του αυτονόητου. Προσπαθώ να μιλήσω οικονομικά σε μια χώρα γεμάτη "οικονομολόγους"... Στη φωτογραφία είναι το γιοφύρι της Άρτας. Δείτε όλα τα άρθρα του/της chriszah

4 responses to “Αντιστάθμιση της μεταβλητότητας των αξιογράφων, μέρος 1ο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: